sábado, 10 de diciembre de 2011

Tecnicas de conteo

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TÉCNICAS DE CONTEO 
 El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a  n1 x n2.


* La técnica de la multiplicación
* La técnica aditiva
* La técnica de la suma o Adicion
* La técnica de la permutación 
* La técnica de la combinación. 

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.

 N1 x N2 x ..........x  Nr  maneras o formas


PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de,

                        M + N + .........+ W  maneras o formas


PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION
Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:
                      m+n maneras.





Regla general del conteo.
  si un experimento esta compuesto por  k  ensayos realizados en un orden definido, donde el primero tiene n  resultados posibles, el segundo posee  n2 resultados posibles, el tercero tiene n3 resultados posibles, etc. entonces el numero de resultados posibles para el experimento es
                n X n2 X n3 X ...... nk


Regla fundamental 
   si un experimento esta integrado por dos ensayos, donde uno de ellos (una sola accion o elección) tiene  m resultados posibles y el otro ensayo tiene  n  resultados posibles, entonces cuando los ensayos se realizan juntos, se tiene
                 m x n

Ejemplos
  1. ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres vocales de modo que cada palabra comience y termine en consonante?
     C   V   C
    --- --- ---       5.3.4 = 60   (regla del producto)
     5   3   4
    
    
  2. Determine el número de enteros de seis dígitos (que no comiencen con cero) en los que
    1. ningún dígito se pueda repetir.
       9   9   8   7   6   5
      --- --- --- --- --- ---
      
      9.9.8.7.6.5 = 136.080   (regla del producto)
      
      
    2. se pueden repetir los dígitos.
      9.10.10.10.10.10 = 900.000   (regla del producto)
      
      
  3. Ana y María vieron a dos hombres alejarse en automóvil frente a una joyería, justo antes de que sonara una alarma contra robos. Cuando fueron interrogadas por la policía, las dos jóvenes dieron la siguiente información acerca de la placa (que constaba de dos letras seguidas de cuatro dígitos). María estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O o una Q, y que el último dígito era un 3 o un 8. Ana dijo que la primera letra de la placa era una C o una G y que el primer dígito era definitivamente un 7.
    ¿Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía? 


     C/G    Q/O     7    0 a 9  0 a 9  8 ó 3
    -----  -----  -----  -----  -----  ----- 
      |     |       |      |      |      |
      2  x  2   x   1  x  10  x  10   x  2 = 800   (regla del producto)
    
    
  4. Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras de doble sentido. 

    1. ¿De cuántas formas puede Juan ir del pueblo A al pueblo C?
      2 + 4.3 = 14 (reglas de la suma y del producto)
    2. ¿Cuántos trayectos puede hacer Juan del pueblo A al pueblo C y de regreso al pueblo A?
      14.14 = 196 (regla del producto)
    3. ¿Cuántos de los trayectos completos de la parte (b) son tales que el viaje de regreso (del pueblo C al pueblo A) es diferente, al menos parcialmente, de la ruta que toma Juan del pueblo A al pueblo C? (Por ejemplo, si Juan viaja de A a C por las rutas R1 y R6 podría regresar por las rutas R6 y R2, pero no por R1 y R6).
      14.13 = 182 (regla del producto)

      5. Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 de filosofía. Si un estudiante quiere aprender acerca de alguno de estos dos temas, por la regla de la suma puede elegir entre 40 + 50 = 90 libros.
      (Nota: el estudiante no quiere estudiar historia y filosofía, sino historia o filosofía.)


      La regla puede ampliarse a más de dos tareas, siempre que ningún par de ellas pueda ocurrir simultáneamente.




PERMUTACION:

A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:
                                               
                                              FÓRMULA: n P r = n! (n - r)

Ejemplos 

    1. ¿Cuántas permutaciones existen para las ocho letras a,b,c,d,e,f,g,h?
      P8 = 8! = 40.320.

    2. ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a?
      P7 = 7! = 5.040.

    3. ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a y terminan con la letra c?
      P6 = 6! = 720.

  1. ¿De cuántas formas es posible ordenar los símbolos a,b,c,d,e,e,e,e,e de modo que ninguna e quede junto a otra?
    e _ e _ e _ e _ e
    
    P4 = 4! = 24
    
    1. ¿De cuántas maneras se pueden colocar las letras de VISITING?
      Si consideramos que las tres I son distintas, podemos formar P8 palabras. Así, la permutación VI1SI2TI3NG sería distinta de VI2SI1TI3NG. Pero esto no es lo que queremos, en realidad no hay diferencia entre esas dos permutaciones. Como las tres I pueden ubicarse de P3 maneras, cada palabra se está repitiendo P3 veces. Por lo tanto hay P8/P3 = 8!/3! = 6.720 disposiciones diferentes. 

    2. ¿Cuántas de ellas tienen las tres letras I juntas?
      Las restantes 5 letras pueden ordenarse de P5 formas. Las 3 letras I pueden ubicarse en 6 posiciones diferentes: al principio, al final o en cualquiera de los 4 espacios entre las otras 5 letras. Así, hay 6.5! = 6! = 720 palabras con las tres I juntas.
      III_ _ _ _ _
      _III_ _ _ _
      _ _III_ _ _
      _ _ _III_ _
      _ _ _ _III_
      _ _ _ _ _III 
       
      4. Dadas las letras a, b, c existen seis formas de disponerlas:
      P3 = 3! = 3.2.1 = 6.
      
      Las seis permutaciones son:
      
      a b c
      
      a c b
      
      b a c
      
      b c a
      
      c a b
      
      c b a
       
      5, ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA?

      Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:

      8 ´ 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 40320



COMBINACIÓN:


En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:

                                                          n C r = n!                          r! (n – r)!

Ejemplos

  1. Un estudiante que realiza un examen debe responder 7 de las 10 preguntas. El orden no importa. ¿De cuántas formas puede responder el examen?
    Existen
     
     10  10!   10.9.8
    C7 = --- = ------ = 120
         7!3!   3.2.1
    
    
    combinaciones posibles de preguntas que puede contestar.

  2. Juan quiere dar una fiesta para algunos de sus amigos. Debido al tamaño de su casa, sólo puede invitar a 11 de sus 20 amigos. ¿De cuántas formas puede seleccionar a los invitados?
    Hay
     
     20    20!
    C11 = ---- = 167.960
          11!9!
    
    
    formas de elegir a los 11 amigos. 
     
  3. En una reunión de 6 personas, ¿cuántos saludos de mano pueden intercambiarse, si entre cada 2 personas, se dan la mano una sola vez? 

     6    6!    6.5
    C2 = ---- = --- = 15
         2!4!    2
    
    
  4. Una persona que sale de vacaciones desea llevarse 4 libros para leer: dispone de 4 novelas policiales y 6 libros de cuentos cortos. ¿De cuántas formas puede hacer la elección si quiere llevar al menos una novela? 

                          6
     N   C   C   C  --> 4C3 = 80
                         4 6
     N   N   C   C  --> C2C2 = 90     
                         4
     N   N   N   C  --> C36 = 24
                       
     N   N   N   N  --> 1
                             
    80 + 90 + 24 + 1 = 195 
     
    5. ¿De cuántas formas es posible distribuir 12 libros diferentes entre cuatro
    niños de modo que
    
    
      1. cada niño reciba tres libros.
         12 9  6  3
        C3.C3.C3.C3 = 220.84.20.1 = 369.600
        
      2. los dos niños mayores reciban cuatro libros cada uno y los dos menores reciban dos libros cada uno.
         12 8  4      12!8!4!
        C4.C4.C2 = ------------ = 207.900
                    8!4!4!4!2!2!
        
     


Bibliografias

http://books.google.com.mx/books?id=qEeK5IZR6IsC&lpg=PA492&ots=QD9C5I9qMP&dq=Regla%20general%20del%20conteo&hl=es&pg=PA492#v=onepage&q=Regla%20general%20del%20conteo&f=false

http://probabilidadestadistic.blogspot.com/2010/09/tecnicas-de-conteo.html

http://www.mitecnologico.com/Main/CombinacionesYPermutaciones

http://tutormatematicas.com/ALG/Probabilidad_combinaciones_permutaciones.html

http://sites.google.com/site/estadisticadm/c-probabilidad/c-1-reglas-de-conteo

http://matematica.50webs.com/conteo.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html

http://matematica.50webs.com/ejercicios-de-conteo.html

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